Η κιθάρα από την σκοπιά της φυσικής
(Μέρος α')
Ας μιλήσω καθαρά από την αρχή.
Τέλειωσα φυσικός, με μια αίσθηση άγνοιας να με ακολουθεί σαν σκιά. Που όμως δεν μπορώ (δεν θέλω δηλαδή) να την αποχωριστώ. Θεωρώ πως η κατασκευή της κιθάρας (γιατί μ’ αυτή παλεύω τώρα) τέμνεται με τη φυσική και δεν δέχομαι να τα ξεχωρίσω. Αρνούμαι να πω ότι γνωρίζω, καθώς ο πάγκος είναι μια αμείλικτη πραγματικότητα. Λίγη επιπόλαιη γνώση και η εφαρμογή της καταρρέει σαν χάρτινος πύργος από το φύσημα του αέρα που δημιουργεί η Μι καντίνι. Ακόμη και οι πιο πολύπλοκες αναλύσεις δεν φθάνουν να ερμηνεύσουν προβλήματα και να δώσουν ποσοτικές απαντήσεις, και είναι ανίκανες να αντικαταστήσουν τη βαθιά γνώση των φυσικών νόμων που λέγεται εμπειρία. Από την άλλη πλευρά, όμως, η σωστή κατανόηση μιας απλής φυσικής (όχι απλοϊκής), η εμπειρία μού έδειξε πως μπορεί να βοηθήσει σε μια ποιοτική προσέγγιση των προβλημάτων, κάνοντας ευκολότερη την επίλυσή τους.
Έφυγα πολλές φορές τρομαγμένος, ή στην καλύτερη περίπτωση με έντονη την αίσθηση της ανεπάρκειας από την εκλαϊκευμένη γνώση που σερβίρεται πλουσιοπάροχα στην κοινωνία της πληροφορίας, μετατρέποντας την κιθάρα σε σανιδένιο έπιπλο – αποτέλεσμα του ατυχούς δυϊσμού θεωρίας-πράξης. Και γύριζα για να ξαναπιάσω πάλι από την αρχή την προσπάθεια, γιατί δεν υπάρχει άλλος δρόμος για μένα.
Χορδή.
Θα αρχίσω από το πιο απλό.
Μια ιδανική χορδή πακτωμένη στα δυο άκρα της, όταν ταλαντώνεται δημιουργεί ένα στάσιμο κύμα http://en.wikipedia.org/wiki/Node_(physics)#Explanation. Στη συνέχεια θα αναιρέσουμε τα δύο παραπάνω. Δεν υπάρχει ιδανική χορδή, για λόγους που σχετίζονται με την υλική της υπόσταση, αλλά και από τον μη ιδανικό τρόπο διέγερσής της. Έχοντας δε υπόψη πως το στάσιμο κύμα δεν εκπέμπει ενέργεια, και πως η ταλαντούμενη χορδή διεγείρει τα γειτονικά μόρια του αέρα, προχωρούμε στη δεύτερη αναίρεση. Παρ’ όλα αυτά μπορούμε προς το παρόν να μείνουμε στις αρχικές μας παραδοχές, καθώς δεν δημιουργούν προβλήματα σε μια ποιοτική κατανόηση του φαινομένου, και στην εξαγωγή κάποιων θεμελιωδών νόμων.
Η χορδή ταλαντώνεται με συγκεκριμένους τρόπους. Το μήκος της χορδής πρέπει να είναι ίσο με το ακέραιο πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, δηλαδή L = κ λ/2. Μήκος κύματος στην περίπτωσή μας είναι το μήκος που αντιστοιχεί σε τρεις δεσμούς. (σημ.: Δεσμός ενός κύματος είναι το σημείο όπου το πλάτος της ταλάντωσης είναι μηδενικό, ενώ κοιλία το σημείο το οποίο ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος) (http://library.tedankara.k12.tr/chemistry/vol3/Basic%20Wave%20Theory/z48.htmΣε κάθε μήκος κύματος αντιστοιχεί μια συγκεκριμένη συχνότητα, που η σχέση τους είναι αντιστρόφως ανάλογη. Για να συνοψίσουμε: σε κάθε τρόπο ταλάντωσης αντιστοιχεί ένα μήκος κύματος και μια συχνότητα. Μια ταλαντούμενη χορδή δεν φημίζεται καθόλου για απλούς τρόπους ταλάντωσης! Αιώνες πριν ο Fourier μιλήσει για την αρμονική ανάλυση μιας νότας, οι μουσικοί γνώριζαν πολύ καλά ότι μια νότα είναι αποτέλεσμα άθροισης αρμονικών, που ο καθένας έχει τη δική του συνεισφορά στο σχηματισμό του ηχοχρώματος και τη δική του χρονική εξέλιξη. Ο αρμονικός με τη χαμηλότερη συχνότητα έχει και τη μεγαλύτερη ηχητική συνεισφορά και ονομάζεται θεμελιώδης. Έχοντας υπόψη την αντιστοιχία μήκους κύματος και συχνότητας, συμπεραίνουμε ότι η μορφή της χορδής που ταλαντώνεται δεν είναι μια απλή ημιτονοειδής καμπύλη. Το σχήμα της είναι αποτέλεσμα του αθροίσματος των απλών ημιτονοειδών κυμάτων που αντιστοιχούν στις αρμονικές συχνότητες που αναφέραμε (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/timbre.html#c2). Αξίζει να σταθούμε στα παραπάνω σχήματα. Το πρώτο παριστάνει μια κυματομορφή που χαρακτηρίζεται από μια περιοδικότητα (επανάληψη) και σχετίζεται με τη χρονική διακύμανση ενός μεγέθους. Το δεύτερο αναλύει την κυματομορφή σε απλές ημιτονοειδείς κυμάνσεις, παριστάνοντάς τες με τις αντίστοιχες συχνότητές τους και με την ισχύ με την οποία συμμετέχουν στην κυματομορφή (διαφορετικά ύψη). Κάτι αντίστοιχο για μια πακτωμένη χορδή είναι πολύ πιο σύνθετο να περιγραφεί, καθώς η χορδή ένθεν και ένθεν των σημείων πακτώσεως δεν υπάρχει ( δεν διαδίδεται κύμανση), ενώ επιπλέον θα είναι μια συνεχής καμπύλη και όχι διακριτές συχνότητες. Κάτι τέτοιο θα συναντήσουμε αργότερα, στην εξέλιξη αυτής της ανάλυσης.
Ας δούμε τώρα και μια απλή εφαρμογή των παραπάνω. Με την επιλογή της θέσης του χτυπήματος στη θέση όπου υπάρχει κάποια κοιλία στον παραγόμενο ήχο εμφανίζεται ενισχυμένη η αρμονική που αντιστοιχεί σ’ αυτήν τη θέση. Χτυπήματα κοντύτερα στη γέφυρα δίνουν πιο οξύ ήχο (υψηλή συχνότητα), καθώς αντιστοιχούν σε μικρό μήκος κύματος, ενώ το αντίστροφο συμβαίνει καθώς απομακρυνόμαστε απ’ αυτή. Η προσπάθεια του κιθαριστή να βρει τον ήχο του, είναι κατά ένα μέρος μια “χωρική” ανίχνευση της χορδής. Το σημείο που επιλέγει για να χτυπήσει είναι το σημείο που αντιστοιχεί στον τρόπο ταλάντωσης, του οποίου τη συγκεκριμένη αρμονική επιθυμεί να ενισχύσει.
Δράττομαι της ευκαιρίας καθώς βρισκόμαστε στην περιοχή της αρμονικής ανάλυσης, να περιγράψω με απλά λόγια, ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο, την συνάρτηση δέλτα, http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#The_delta_function_as_a_measure, που θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο στην προσπάθειά μας να ερμηνεύσουμε τη συμπεριφορά της κιθάρας. Δεν είναι τίποτε άλλο παρά η μαθηματική περιγραφή μιας στιγμιαίας διέγερσης ενός αντικειμένου. Στην περίπτωσή μας, ενός στιγμιαίου χτυπήματος με το δάχτυλο πάνω στο αρμονικό επίπεδο της κιθάρας. Αυτό παριστάνεται με μια οριζόντια ευθεία γραμμή, που απότομα “υψώνεται” με τη μορφή μιας κατακόρυφης, για να συνεχίσει αμέσως μετά σαν μια οριζόντια γραμμή. Αυτό το σχήμα (διέγερση) θεωρείται ως άθροισμα απείρων απλών ημιτονοειδών μορφών, που όταν αθροίζονται δίνουν αυτό το αποτέλεσμα. Και για να μιλήσουμε με όρους αρμονικών, ο ήχος που παράγεται από το απλό απότομο χτύπημα είναι αποτέλεσμα άθροισης άπειρων αρμονικών.
Κλείνω την ενότητα της μοναχικής χορδής θέτοντας και απαντώντας στη συνέχεια το απλό ερώτημα: Μια χορδή μπορεί να παράγει, και να διεγερθεί μόνο από, συγκεκριμένες συχνότητες; Μια θετική απάντηση είναι οφθαλμοφανώς λανθασμένη, καθώς ένας στοιχειώδης ήχος παράγεται από την κρούση της χορδής σε οποιαδήποτε θέση. Το αποτέλεσμα όμως θα είναι ένας όχι τόσο καθαρός και ποιοτικός ήχος, χρησιμοποιώντας μουσικούς όρους. Στη συνέχεια θα επιχειρήσω μια στοιχειώδη μετατροπή της μουσικής ορολογίας σε όρους της φυσικής, καθώς αυτό είναι και το εγχείρημα της όλης ανάλυσής μου. Μια μεγάλη σειρά μη αρμονικών, υψηλών συχνοτήτων παράγεται. Το χαρακτηριστικό αυτών των μη αρμονικών συχνοτήτων είναι η μικρή ενέργεια του καθενός, που το άθροισμά τους συνιστά μια “κυματομορφή”. Το κύριο χαρακτηριστικό της είναι το μικρό εύρος των μέγιστων από τα ελάχιστα όσον αφορά την κατακόρυφη, και η κοντινή απόσταση των μέγιστων (και των ελάχιστων) όσο αφορά την οριζόντια διεύθυνση. Ο μέσος όρος μιας τέτοιας “ομογενοποιημένης” κυματομορφής θυμίζει ευθεία. Τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά συνιστούν τον ορισμό του λευκού θορύβου. http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Whitenoise.png). Η ευθεία αυτή λειτουργεί σαν μαχαίρι, επιτρέποντας να αναδειχθεί μόνο το τμήμα των αρμονικών που είναι πάνω απ’ αυτή. Ένα οπτικό ανάλογο αυτού του φαινομένου, και πολύ επίκαιρο, είναι μια θάλασσα με παγόβουνα όπου φαίνεται μόνο το τμήμα του παγόβουνου που είναι πάνω απ’ αυτή. Οι αιτίες των παραπάνω οφείλονται κατά κύριο λόγο στη λανθασμένη θέση διέγερσης της χορδής και στον μη ιδανικό της χαρακτήρα (δυσκαμψία).
Με πιο δραματικό τρόπο (κάτι που το γνωρίζουν καλά κατασκευαστές και παίκτες), εκδηλώνεται η παρουσία των μη αρμονικών συνιστωσών, να συνοδεύουν κάποια νότα η διφωνία. Πρόκειται για το κοινώς αποκαλούμενο “τρίξιμο” ή “ταστάρισμα”, γεγονός που παρουσιάζεται σε απόλυτα ευθυγραμμισμένες ταστιέρες και φαινομενικά αδιανόητο. Το φαινόμενο αυτό ακούει στο όνομα “λύκος”, οι δε αιτίες του βρίσκονται έξω από τη μεμονωμένη χορδή. Η κατανόησή του θα προσεγγιστεί αργότερα, με την αντιμετώπιση της κιθάρας ως δυναμικού συστήματος, που τα μέρη του – χορδή, αρμονικό επίπεδο και αντηχείο – βρίσκονται σε μια συνεχή επανάδραση (feedback).
Εδώ αξίζει να αναφέρω, με εθνική υπερηφάνεια μάλιστα, πως η Μαρία Παυλίδου (προσωπικά δεν γνωρίζω την ίδια και την εργασία της) εκπόνησε διδακτορική διατριβή με θέμα τη λειτουργία της χορδής, που χαίρει ιδιαίτερης εκτίμησης στη διεθνή επιστημονική κοινότητα.
Στη συνέχεια θα επιχειρήσω τη μετάβαση από τη μοναχική χορδή στη συζευγμένη, που αποτελεί, όπως προαναφέρθηκε, βασικό τμήμα του δυναμικού συστήματος που λέγεται κιθάρα. Τώρα η παραδοχή του στάσιμου χαρακτήρα της ταλάντωσης αρχίζει να στερείται ουσιαστικής βάσης. Το ένα της άκρο (το συνδεδεμένο με τη γέφυρα) παύει να είναι ακλόνητο, καθώς είναι αυτό που μεταδίδει τη δόνηση στο αρμονικό επίπεδο, για να δεχθεί στη συνέχεια την ανάδρασή του. Οι ρόλοι του διεγέρτη και του διεγειρόμενου εναλλάσσονται, γεγονός στο οποίο οφείλεται η πολυπλοκότητα αλλά και η ομορφιά της κιθάρας – στην περίπτωσή μας. Παρ’ όλα αυτά θα κρατήσουμε την ανάλυση που κάναμε και τα συμπεράσματα που έχουμε εξαγάγει, αντιμετωπίζοντας (με επιφύλαξη όμως) την ταλαντούμενη χορδή ως στάσιμο κύμα.
Ίσως να σας δημιούργησα την εντύπωση του κομίζειν γλαύκα ες Αθήνας, καθώς η έννοια του αρμονικού βρίσκεται στην καθημερινότητά σας. Ο κύριος λόγος για τη μορφή της προσέγγισης συνίσταται στα παρακάτω: η μετάβαση από τη μονοδιάστατη χορδή στο δισδιάστατο αρμονικό επίπεδο και στη συνέχεια στο τρισδιάστατο αντηχείο, θα πραγματοποιηθεί με βάση όρους που ποιοτικά είναι ίδιοι (και παράγονται) με αυτούς (απ’ αυτούς) που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω. Μόνο που η πολυπλοκότητά τους αυξάνει εκθετικά με την αύξηση των διαστάσεων.
Γιάννης Κουκουρίγκος
Φυσικός - oργανοποιός
www.alectorguitars.com
(Σιδηροχώρι, 12 Ιουνίου)
